Сила тяготения между телом и точкой


Силами тяготения мы называем результат гравитационных взаимодействий, которые описываются весьма простым законом всемирного тяготения, открытым Ньютоном:

тяготения

Материальные точки притягиваются друг к другу с силами, пропорциональными произведению их масс и обратно пропорциональными квадрату расстояния между ними:

F(m,r)         (11)

Коэффициент пропорциональности G называется гравитационной постоянной. Она характеризует интенсивность гравитационного взаимодействия (численно равна силе притяжения двух точечных масс по 1 кг, находящихся на расстоянии 1 м друг от друга) и является одной из основных физических констант. В единицах системы СИ ее величина равна:

G = 6,673·10-11H·м2/кг2 = 6,673·10-11м3/(кг·с2)

Формула (11) дает только величину силы взаимодействия двух точечных тел. На самом деле речь идет о двух силах, с которыми по третьему закону Ньютона действуют тела друг на друга, они равны по величине (11) и направлены навстречу друг к другу по прямой, соединяющей эти тела. Такие силы называются центральными.

Можно показать, что однородные тела, имеющую сферическую форму (даже если их размеры не малы по сравнению с расстоянием между ними), так же притягиваются с силами, определяемыми формулой (11), в этом случае r – это расстояние между центрами сфер.

Каким образом одно тело “узнает”, что ему “надо” притягиваться к другому телу? Другими словами, каков механизм передачи гравитационного взаимодействия от одного тела к другому? Ньютоновская механика предпочитает не отвечать на этот вопрос, она базируется на концепции теории дальнодействия, согласно которой одно тело действует на другое непосредственно, без какого-либо участия промежуточной среды. Это означает, например, что если масса одного из тел изменится в какой –либо момент времени, то силы притяжения между взаимодействующими телами, в частности, сила, действующая на другое тело, изменится в тот же момент времени, как бы далеко это другое тело ни находилось, без каких-нибудь изменений в окружающей среде. В современной физике предпочитают использовать теорию близкодействия, в которой передача любых взаимодействий между телами осуществляется посредством создания ими вокруг себя особого рода материальной среды - гравитационных полей (скорость передачи изменения поля, согласно теории относительности Эйнштейна, не может превышать скорости света – поэтому сила, действующая на другое тело изменится не в тот же момент времени, а спустя некоторое время). Понятие поля относится к числу основных понятий в физике, которые невозможно определить через другие, более простые понятия. Можно только описать его свойства.

Любое тело создает вокруг себя гравитационное поле, т.е. наделяет окружающее пространство определеными свойствами: любое другое тело, находящееся в этом поле, испытывает воздействие (силу) со стороны этого поля. Силовой характеристикой сила тяготения между телом и точкой гравитационного поля является его напряженность. Определим ее с помощью следующего мысленного опыта: пусть нам надо в некоторой точке пространства охарактеризовать гравитационное поле, создаваемое некоторым телом массой М. Поместим в интересующую нас точку пространства (в интересующую нас точку поля) “пробное” точечное тело массой m1 и измерим силу F1, с которой поле будет действовать на него. Если мы будем менять массу “пробного” тела: m1 → m2 → …→ mn, то, как показывает опыт, будет меняться и сила, действующая на него: F1F2 → … → Fn, однако, отношение силы, действующей на него, к его массе, не будет зависеть от массы “пробного” тела: F1/m1 = F2/m2 = … = Fn/mn. Следовательно, это отношение уже зависит только от поля и, поэтому, является характеристикой поля в данной точке пространства и называется напряженностью гравитационного поля в данном месте:

g = F/m           (12)

Напряженность – векторная характеристика поля, она направлена (так как m > 0) туда же, куда и сила притяжения F – т.е. в сторону тела массой М - тела, которое создает это поле. Численно напряженность равна силе, действующей на “пробное” точечное тело с единичной массой, помещенное в данную точку поля. Размерность напряжености поля совпадает с размерностью ускорения – в системе единиц СИ она равна Н/кг = м/с2.

Если нам известна напряженность g(r) гравитационного поля в любой точке пространства r, то, как это следует из определения (12), мы можем вычислить силу, которая будет действовать на точечное тело массой m, помещенное в данную точку поля:

F(r) = mg(r)

Рассмотрим гравитационное поле, создаваемое точечной массой М. Очевидно, что оно обладает сферической симметрией – вектор напряженности g в любой его точке направлен к массе М, создающей поле, и равен по величине, как это следует из закона (11)

g(r) = F/m = GM/r2   (13)

- зависит только от расстояния r до источника поля.

Как вычислить напряженность гравитационного поля, создаваемого не точечным, а протяженным телом? Опыт показывает, что гравитационные поля удовлетворяют принципу суперпозиции. Он гласит, что гравитационное поле, создаваемое какой-либо массой, не зависит от наличия других масс. Напряженность поля, создаваемого несколькими телами, равна векторной сумме напряженностей полей, создаваемых этими телами в отдельности.

В частности, чтобы найти напряженность поля, создаваемого любым протяженым телом, надо мысленно разбить его на множество отдельных элементов, настолько малых, чтобы каждый из них можно было считать материальной точкой, и найти векторную сумму напряженностей полей, создаваемых всеми этими отдельными элементами.

Пользуясь принципом суперпозиции, можно доказать, что гравитационное поле, создаваемое шаром со сферически-симметричным распределением массы (например, однородным шаром), вне этого шара такое же, что и гравитационное поле материальной точки такой же массы, помещенной в центр этого шара и выражается так же формулой (13).

Если считать Землю шаром с массой М, сферически-симметрично распределенной по объему, и радиусом R, то сила mg тяжести тела массой m, находящегося на высоте h над поверхностью Земли, равна

mg(h) = GMm/(R + h)2   (14)

На поверхности Земли (h = 0):

mg = GMm/R2 (15)

Из последней формулы следует, что для Земли:

GM = gR2 = 9,8 м/с2·(6,4·106м)2 = 4·1014м3 / с2

Выясним теперь, какое гравитационное поле создается внутри тонкой сферы. Оказывается, внутри сферы поле внутри тонкой сферынапряженность поля равна нулю. Для доказательства этого факта рассмотрим произвольную точку А и покажем, что напряженности полей от двух противо положных участков сферы, отсекаемых узким конусом, взаимно уничтожаются. Действительно, из подобия следует, что линейные размеры выбранных участков относятся как r1 / r2, следовательно, отношение их площадей S1 / S2, равное отношение масс М1 / М2, есть М1 / М2 = S1/S2 = r12/r22.

Тогда из формулы (13) получаем, что создаваемые этими участками в точке А напряженности полей равны по величине, а из-за того, что они направлены противоположно, то в сумме они дают ноль.

Таким образом, если бы существовала планета, масса которой была бы равномерно распределена по тонкому сферическому слою некоторого радиуса, а внутри была бы пустота, то внутри этой планеты любое тело находилось бы в состоянии невесомости, а вне этой планеты гравитационное поле совпадало бы с полем точечного тела такой же массы, находящейся в центре этой сферы.

Теперь рассмотрим поле внутри однородного шара радиуса R и массы М. Возьмем точку на расстоянии r < R от центра шара. Проведем мысленно сферу радиусом r, разделив шар на две части – внутреннюю и внешнюю. Как мы уже выяснили, поле, создаваемое в рассматриваемой точке всеми внешними сферическими слоями, равно нулю. Поэтому поле в этой точке совпадает с полем, создаваемым внутренней частью, т.е. шаром радиусом r. Масса этого шара равна Мr = ρ (4/3)π r3 = ρ (4/3)π R3r3 / R3 = Mr3 / R3. Напряженность поля, создаваемое этим шаром в рассматриваемой точке по формуле (13) равно:

gr = GMr/r2 = GMr3/(R3r2) = gor/R

зависимость g(r)где go – напряженность поля на поверхности шара радиуса R.

Зависимость величины напряженности поля от расстояния от центра шара можно видеть на рисунке.

Напряженность, а, значит, и сила тяжести линейно возрастает от центра до поверхности шара, а затем убывает обратно пропорционально квадрату расстояния.


Рассмотрим несколько задач.

  1. 1. Доказать, что для всех планет, движущихся вокруг Солнца, отношение квадрата периода Т обращения к кубу радиуса R орбиты имеет одно и то же значение (предполагается, что орбиты большинства планет мало отличаются от круговых).

Решение. Движущаяся по окружности радиуса R с постоянной по величине скоростью планета обладает цетростремительным ускорением, равным 4π 2R/T2. По второму закону Ньютона:

m4π 2R/T2 = F = GMm/R2

(здесь m - масса планеты, M - масса Солнца). Откуда: T2/R3 = 4π 2/(GM) = const

- не зависит от массы планеты, т.е. эта величина одна и та же для всех планет. Это утверждение известно кактретий закон Кеплера. (На самом деле орбиты планет – эллипсы, в одном из фокусов которых находится Солнце. В этом случае в качестве радиуса орбиты надо взять половину величины большой оси эллипса).

2. С какой скоростью движется спутник по круговой орбите на высоте h над поверхностью Земли?

Решение. Спутник движется под действием силы притяжения к Земле, которая сообщает ему центростремительное ускорение. По второму закону Ньютона:

mV2/(R + h) = GMm/(R + h)2

Откуда: V = (GM/(R + h))1/2 = (gR2/(R + h))1/2

С увеличением высоты h орбиты спутника его скорость уменьшается. Значение скорости спутника при h = 0 (в действительности такое движение, разумеется, невозможно из-за сопротивления воздуха) называется первой космической скоростью:

VI = (gR)1/2 = 7,9·103 м/с = 7,9 км/с

На самом деле достаточно долгое движение спутника возможно только тогда, когда его орбита пролегает выше атмосферы – на высотах не менее, чем 100 км над земной поверхностью.

Рассмотрим высоты h < < R. Если воспользоваться приближенной формулой для вычисления величины

(1 + х)-1/2 » 1 – х/2 (при х < < 1),

то значение скорости спутника на высоте h может быть вычислена так:

V = (gR2/(R + h))1/2 = (gR)1/2(1 + h/R)-1/2 » VI(1 - h/(2R))

Так, например, на высоте h = 200 км скорость спутника меньше первой космической примерно на 1/64 ее часть, т.е. на 124 м/с.

3. Радиус Солнца Rс = 7·105 км, радиус земной орбиты r = 1,5·108 км и период обращения Земли вокруг Солнца Т = 1 год. Найти среднюю плотность солнечного вещества. Каков минимально возможный период обращения спутника вокруг Солнца?

Решение. По второму закону Ньютона

mV2/r = GMcm/r2

Подставляя сюда значение скорости V = 2π r/T, получим:

Mc = 4π 2r3/(GТ2)

Тогда средняя плотность солнечного вещества будет равна

ρ = Mc /((4/3)π Rc3) = 3π r3/(GТ2Rc3) = 1,4 г/см3

Из последней формулы можно выразить период обращения спутника:

Т = (3π r3/(Gρ Rc3))1/2

Видно, что минимальный период получается при r = Rc (если бы это реально было возможно!):

Тмин = (3π /(Gρ ))1/2 » 104 с

Это примерно 2 часа 45 мин. Видно, что минимальное время обращения спутника вокруг небесного тела зависит только от средней плотности этого тела и не зависит от его радиуса.

Задача 1. Что будет с камнем, брошенным в прорытый сквозь Землю по ее диаметру колодец, если не учитывать сил сопротивления?

Задача 2. Какой максимальной скорости достигнет камень, пролетев в предыдущей задаче до центра Земли?

Задача 3. Искусственный спутник, используемый в системе телесвязи, запушен в плоскости земного экватора так, что все время находится в зените одной и той же точки земного шара. Во сколько раз радиус орбиты спутника больше радиуса Земли?


Источник: http://school.komi.com/study/lessons/07.htm



Рекомендуем посмотреть ещё:


Закрыть ... [X]

4. Закон всемирного тяготения. Сила тяжести. Вес тела Вросший ноготь на ноге воспаление лечение


Сила тяготения между телом и точкой Курс физики - Страница 24 - Результат из Google Книги
Сила тяготения между телом и точкой Физика - Страница 22 - Результат из Google Книги
Сила тяготения между телом и точкой Весь школьный курс. 1000 самых важных тем
Сила тяготения между телом и точкой Сила тяготения - Вся физика
Сила тяготения между телом и точкой Т. Сила тяготения PhysBook
7. Силы тяготения 70 самых красивых стрижек для вьющихся волос «Сонник Зубы приснились, к чему снятся во сне Зубы» Все стихи Александра Блока на одной странице Домашний Мастер: самоделки своими руками, поделки, handmade Как украсить зал на свадьбу своими руками, фото, сколько


Похожие новости



Дата: 20.10.2017, 08:33 / Просмотров: 94395